Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии от Френкина Б. Р.: разбиение выпуклого n-угольника на равные треугольники

  Докажем, что при  n = 3, 4  указанная ситуация невозможна.   Первый способ. При  n = 3  углы треугольников разбиения, сходящиеся во внутренней точке, равны, так как сумма любых двух разных углов в них меньше 180°. Но тогда равны и противолежащие им стороны, являющиеся сторонами многоугольника. Противоречие.

  Пусть четырёхугольник ABCD разрезан на равные треугольники отрезками, проведёнными из точки O. Проведём ломаную (или прямую) AOC. В точке O сумма двух углов, находящихся с некоторой стороны от AOC, не меньше 180°. Аналогично случаю  n = 3  получаем, что соответствующие стороны равны. Рассмотрев ломаную BOD, получаем равенство одной из этих сторон и третьей стороны. Пусть, скажем,  AB = BC = CD = l.

  Предположим, что  AD ≠ l.  В треугольнике AOD есть сторона длины l, скажем AO. Таким образом, в треугольнике AOB (и всех равных ему) имеется две стороны длины l. Как следствие,  AO = DO = l.  В треугольнике BOC имеется две стороны длины l. Одна из них BC, а другая, скажем, BO. Но тогда в треугольнике AOB все стороны равны. Следовательно, это верно и для треугольника AOD, то есть  AD = l.  Противоречие.   Второй способ. Так как треугольники, на которые разрезается данный треугольник равны, то равны радиусы описанных около них окружностей и площади. Из первого следует, что точка, определяющая разрезание, является ортоцентром треугольника (см. задачу 156681 а), а из второго, что она является точкой пересечения его медиан (см. задачу 154992). Но ортоцентр и точка пересечения медиан совпадают только в правильном треугольнике (см. задачу 208458).

 ∠OAB = ∠OCB,  как углы, противоположные одной и той же стороне равных треугольников. Аналогично,  ∠OAD = ∠OCD,  ∠OBC = ∠ODC,

∠OBA = ∠ODA.  Следовательно,  ∠A = ∠C,  ∠B = ∠D,  и ABCD – параллелограмм. Так как отрезки из O делят его на равновеликие треугольники, O – точка пересечения его диагоналей, а тогда из равенства треугольников следует, что ABCD – ромб.   При  n = 5  указанная ситуация возможна (см. рис.).

n = 5.