Олимпиадная задача по стереометрии: площадь границы камеры тоннеля из трёх труб

Решение 1:Горизонтальные сечения камеры являются прямоугольниками с периметрами, равными удвоенному диаметру трубы. Для каждого такого прямоугольника угол между его плоскостью и касательной к поверхности камеры один и тот же во всех точках. Середины сторон этих прямоугольников при перемещении сечения описывают четверти окружности трубы. Поэтому площадь поверхности камеры равна площади поверхности тетраэдра, грани которого – равные равнобедренные треугольники с основанием, равным диаметру трубы, и высотой, равной четверти её окружности.

Решение 2:Будем называть касающиеся друг друга цилиндры продольными, а перпендикулярный им – поперечным. Очевидно, что плоскость, касающаяся продольных цилиндров по общей образующей, и вертикальная плоскость, проходящая через ось поперечного цилиндра, являются плоскостями симметрии камеры и разрезают её на четыре равные части. Рассмотрим одну из таких четвертей. Её граница состоит из двух кусков: части поверхности продольного цилиндра, лежащей внутри половины поперечного, и части поверхности поперечного цилиндра, лежащей между продольным и касательной к нему вертикальной плоскостью. Линия пересечения цилиндров является эллипсом и лежит в вертикальной плоскости, при симметрии относительно которой цилиндры переходят друг в друга. Образ при этой симметрии части поверхности камеры, лежащей на продольном цилиндре, дополняет часть, лежащую на поперечном, до криволинейного прямоугольника со сторонами, равными половине диаметра и четверти окружности цилиндра. Соответственно, площадь поверхности камеры равна учетверённой площади такого прямоугольника.

⁸/_π м².