Олимпиадные задачи из источника «Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)» для 5-11 класса
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
НазадКакое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65099/problem_65099_img_2.jpg"></div>
По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечётными знаменателями, большими 10<sup>10</sup>. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100?
Выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i> таков, что <i>AB || CD, BC || AD, AC || DE</i>, <i>CE</i> ⊥ <i>BC</i>. Докажите, что <i>EC</i> – биссектриса угла <i>BED</i>.
100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?
Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>, в котором <i>AB = CD</i>, выбрана точка <i>P</i> таким образом, что сумма углов <i>PBA</i> и <i>PCD</i> равна 180°.
Докажите, что <i>PB + PC < AD</i>.
Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?
За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 1 найдутся такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что <i>a + b = c + d = ab – cd</i> = 4<i>n</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. На медиане <i>ВМ</i> выбрана точка <i>Р</i>, не лежащая на <i>CN</i>. Оказалось, что
<i>PC</i> = 2<i>PN</i>. Докажите, что <i>АР = ВС</i>.
Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?
На доске написано число 1. Если на доске написано число <i>а</i>, его можно заменить любым числом вида <i>a + d</i>, где <i>d</i> взаимно просто с <i>а</i> и 10 ≤ <i>d</i> ≤ 20.
Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?
Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> <i>AD = АВ + CD</i>. Оказалось, что биссектриса угла <i>А</i> проходит через середину стороны <i>ВС</i>.
Докажите, что биссектриса угла <i>D</i> также проходит через середину <i>ВС</i>.
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.
Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.
Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?
Докажите, что для произвольных <i>a, b, с</i> равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_2.gif"> выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_3.gif">.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>B</i> и <i>D</i> равны, <i>CD</i> = 4<i>BC</i>, а биссектриса угла <i>A</i> проходит через середину стороны <i>CD</i>.
Чему может быть равно отношение <i>AD</i> : <i>AB</i>?
На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?
В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.
В четырёхугольнике <i>ABCD </i>сторона <i>AB</i> равна диагонали <i>AC</i> и перпендикулярна стороне <i>AD</i>, а диагональ <i>AC</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>. На стороне <i>AD</i> взята такая точка <i>K</i> , что <i>AC = AK</i>. Биссектриса угла <i>ADC</i> пересекает <i>BK</i> в точке <i>M</i>. Найдите угол <i>ACM</i>.
В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.
Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: <i>p</i><sub>1</sub> = 2, <i>p</i><sub>2</sub> = 3, ... .
Может ли среднее арифметическое <img align="middle" src="/storage/problem-media/65076/problem_65076_img_2.gif"> при каком-нибудь <i>n</i> ≥ 2 быть простым числом?
Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а биссектрисы углов <i>B</i> и <i>D</i> – в точке <i>Q</i>, отличной от <i>P</i>.
Докажите, что если отрезок <i>PQ</i> параллелен основанию <i>AD</i>, то трапеция равнобокая.