Олимпиадные задачи из источника «2013 год» для 8 класса
Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что ∠<i>BAM</i> = ∠<i>CKM</i> = 30°. Найдите ∠<i>AKD</i>.
На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?
В параллелограмме <i>ABCD</i> из вершины тупого угла <i>B</i> проведены высоты <i>BM</i> и <i>BN</i>, а из вершины <i>D</i> – высоты <i>DP</i> и <i>DQ</i>.
Докажите, что точки <i>M, N, P</i> и <i>Q</i> являются вершинами прямоугольника.
Про различные числа <i>a</i> и <i>b</i> известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_2.gif"> . Найдите <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_3.gif">.
В записи * + * + * + * + * + * + * + * = ** замените звёздочки различными цифрами так, чтобы равенство было верным.
В сумме + 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с "+" на "–". Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?
Из спичек выложено неверное равенство (см. рисунок). Покажите, как переложить одну спичку, чтобы получилось равенство, в котором значения левой и правой частей различаются меньше, чем на 0,1.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64507/problem_64507_img_2.gif"></div>
Вчера Саша варил суп и положил мало соли, суп пришлось досаливать. Сегодня он положил соли в два раза больше, но все равно суп пришлось досаливать, правда, уже вдвое меньшим количеством соли, чем вчера. Во сколько раз Саше нужно увеличить сегодняшнюю порцию соли, чтобы завтра не пришлось досаливать? (Каждый день Саша варит одинаковые порции супа.)