Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

В клетки таблицы размером 9×9 расставили все натуральные числа от 1 до 81. Вычислили произведения чисел в каждой строке таблицы и получили набор из девяти чисел. Затем вычислили произведения чисел в каждом столбце таблицы и также получили набор из девяти чисел.

Могли ли полученные наборы оказаться одинаковыми?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точка <i>M</i>. Отрезки <i>BM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Оказалось, что углы <i>APB, BPC</i> и <i>CPA</i> равны по 120°, а площадь четырёхугольника <i>AKPM</i> равна площади треугольника <i>BPC</i>. Найдите угол <i>BAC</i>.

Найдите наибольшее значение выражения  <i>a + b + c + d – ab – bc – cd – da</i>,  если каждое из чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> принадлежит отрезку  [0, 1].

Точка <i>F</i> – середина стороны <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i>. К отрезку <i>DF</i> проведён перпендикуляр <i>AE</i>. Найдите угол <i>CEF</i>.

Корни квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  равны <i>m</i>₁ и <i>m</i>₂, а корни квадратного трёхчлена  <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>  равны <i>k</i>₁ и <i>k</i>₂.

Докажите, что  <i>f</i>(<i>k</i>₁) + <i>f</i>(<i>k</i>₂) + <i>g</i>(<i>m</i>₁) + <i>g</i>(<i>m</i>₂) ≥ 0.

Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13.

Найдите 2013-й член последовательности.