Олимпиадные задачи из источника «2013 год» - сложность 3 с решениями

В клетки таблицы размером 9×9 расставили все натуральные числа от 1 до 81. Вычислили произведения чисел в каждой строке таблицы и получили набор из девяти чисел. Затем вычислили произведения чисел в каждом столбце таблицы и также получили набор из девяти чисел.

Могли ли полученные наборы оказаться одинаковыми?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точка <i>M</i>. Отрезки <i>BM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Оказалось, что углы <i>APB, BPC</i> и <i>CPA</i> равны по 120°, а площадь четырёхугольника <i>AKPM</i> равна площади треугольника <i>BPC</i>. Найдите угол <i>BAC</i>.

Двадцать пять монет раскладывают по кучкам следующим образом. Сначала их произвольно разбивают на две группы. Затем любую из имеющихся групп снова разбивают на две группы, и так далее до тех пор, пока каждая группа не будет состоять из одной монеты. При каждом разбиении какой-либо группы на две записывается произведение количеств монет в двух получившихся группах. Чему может быть равна сумма всех записанных чисел?

Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)