Олимпиадные задачи из источника «2013 год» для 9 класса
Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что ∠<i>BAM</i> = ∠<i>CKM</i> = 30°. Найдите ∠<i>AKD</i>.
На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?
В параллелограмме <i>ABCD</i> из вершины тупого угла <i>B</i> проведены высоты <i>BM</i> и <i>BN</i>, а из вершины <i>D</i> – высоты <i>DP</i> и <i>DQ</i>.
Докажите, что точки <i>M, N, P</i> и <i>Q</i> являются вершинами прямоугольника.
Про различные числа <i>a</i> и <i>b</i> известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_2.gif"> . Найдите <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_3.gif">.