Решение 1:   Заметим, что  a + b + c + d – ab – bc – cd – da = (a + c) + (b + d) – (a + c)(b + d).  Пусть  a + c = x,  b + d = y,  0 ≤ x ≤ 2  и  0 ≤ y ≤ 2.

  x + y – xy = (x – 1)(1 – y) + 1,  где  |x – 1| ≤ 1  и  |1 – y| ≤ 1.  Следовательно,  (x – 1)(1 – y) ≤ 1,  а  x + y – xy ≤ 2.

  Значение 2 достигается, например, если  a = c = 1,  b = d = 0.

Решение 2:   Зафиксируем значения переменных b, c и d и рассмотрим функцию  f(a) = (1 – b – d)a + b + c + d – bc – cd,  где  0 ≤ a ≤ 1.  В силу монотонности, ее наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка  [0, 1],  то есть равно  b + c + d – bc – cd  или  1 + c – bc – cd.   Рассматривая эти выражения как функции от c, аналогично получаем, что их максимальные значения:  b + d  или 1, 1 или  2 – b – d.

  Так как  0 ≤ b + d ≤ 2,  то наибольшее значение данного выражения равно 2.