Олимпиадные задачи из источника «2013 год» - сложность 2 с решениями

На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?

Дана правильная треугольная пирамида <i>SABC</i>, ребро основания которой равно 1. Из вершин <i>A</i> и <i>B</i> основания <i>ABC</i> проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

На экране компьютера – число 12. Каждую секунду число на экране умножают или делят либо на 2, либо на 3. Результат действия возникает на экране вместо записанного числа. Ровно через минуту на экране появилось число. Могло ли это быть число 54?

Для квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) и некоторых действительных чисел <i>l, t</i> и <i>v</i> выполнены равенства:  <i>f</i>(<i>l</i>) = <i>t + v</i>,  <i>f</i>(<i>t</i>) = <i>l + v</i>,  <i>f</i>(<i>v</i>) = <i>l + t</i>.

Докажите, что среди чисел <i>l, t</i> и <i>v</i> есть равные.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 75°, а угол <i>B</i> равен 60°. Вершина <i>M</i> равнобедренного прямоугольного треугольника <i>BCM</i> с гипотенузой <i>BC</i> расположена внутри треугольника <i>ABC</i>. Найдите угол <i>MAC</i>.

Сережа и Миша, гуляя по парку, набрели на поляну, окруженную липами. Сережа пошёл вокруг поляны, считая деревья. Миша сделал то же самое, но начал с другого дерева (хотя пошёл в ту же сторону). Дерево, которое у Сережи было 20-м, у Миши было 7-м, а дерево, которое у Сережи было 7-м, у Миши было 94-м. Сколько деревьев росло вокруг поляны?

Найдите наибольшее значение выражения  <i>a + b + c + d – ab – bc – cd – da</i>,  если каждое из чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> принадлежит отрезку  [0, 1].

Точка <i>F</i> – середина стороны <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i>. К отрезку <i>DF</i> проведён перпендикуляр <i>AE</i>. Найдите угол <i>CEF</i>.

Корни квадратного трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>bx + c</i>  равны <i>m</i>₁ и <i>m</i>₂, а корни квадратного трёхчлена  <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>  равны <i>k</i>₁ и <i>k</i>₂.

Докажите, что  <i>f</i>(<i>k</i>₁) + <i>f</i>(<i>k</i>₂) + <i>g</i>(<i>m</i>₁) + <i>g</i>(<i>m</i>₂) ≥ 0.

Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13.

Найдите 2013-й член последовательности.

Высоты <i>AD</i> и <i>BE</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABH</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>G</i> соответственно. Найдите <i>FG</i>, если  <i>DE</i> = 5 см.

В квадратной таблице размером 100×100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

В равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  вписана окружность с центром <i>O</i>, которая касается стороны <i>AB</i> в точке <i>E</i>. На продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>A</i> выбрана точка <i>D</i> так, что  <i>AD</i> = ½ <i>AC</i>. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>AO</i> параллельны.

На рисунке изображен график функции  <i>y = x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что прямая <i>AB</i> перпендикулярна прямой  <i>y = x</i>.

Найдите длину отрезка <i>OC</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64540/problem_64540_img_2.png"></div>

На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что  ∠<i>BAM</i> = ∠<i>CKM</i> = 30°.  Найдите ∠<i>AKD</i>.

На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?

В параллелограмме <i>ABCD</i> из вершины тупого угла <i>B</i> проведены высоты <i>BM</i> и <i>BN</i>, а из вершины <i>D</i> – высоты <i>DP</i> и <i>DQ</i>.

Докажите, что точки <i>M, N, P</i> и <i>Q</i> являются вершинами прямоугольника.

Про различные числа <i>a</i> и <i>b</i> известно, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_2.gif"> . Найдите  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64534/problem_64534_img_3.gif">.

В сумме  + 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729  можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с "+" на "–". Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?

Из спичек выложено неверное равенство (см. рисунок). Покажите, как переложить одну спичку, чтобы получилось равенство, в котором значения левой и правой частей различаются меньше, чем на 0,1.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64507/problem_64507_img_2.gif"></div>

Вчера Саша варил суп и положил мало соли, суп пришлось досаливать. Сегодня он положил соли в два раза больше, но все равно суп пришлось досаливать, правда, уже вдвое меньшим количеством соли, чем вчера. Во сколько раз Саше нужно увеличить сегодняшнюю порцию соли, чтобы завтра не пришлось досаливать? (Каждый день Саша варит одинаковые порции супа.)

Высота комнаты 3 метра. При её ремонте выяснилось, что на каждую стену уходит краски больше, чем на пол.

Может ли площадь пола этой комнаты быть больше чем 10 квадратных метров?

Шейх разложил свои сокровища по девяти мешкам: в первый мешок 1 кг, во второй – 2 кг, в третий – 3 кг, и так далее, в девятый – 9 кг. Коварный визирь украл часть сокровищ из одного мешка. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь шейху определить, из какого именно?

Все жители острова либо рыцари и говорят только правду, либо лжецы и всегда лгут. Путешественник встретил пятерых островитян. На его вопрос: "Сколько среди вас рыцарей?" первый ответил: "Ни одного!", а двое других ответили: "Один". Что ответили остальные?

Из четырёх фотографий можно составить три различных прямоугольника (см. рис.). Периметр какого-то одного из них равен 56 см. Найдите периметры остальных двух прямоугольников, если периметр фотографии равен 20 см.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64501/problem_64501_img_2.gif">             <img src="/storage/problem-media/64501/problem_64501_img_3.gif">             <img src="/storage/problem-media/64501/problem_64501_img_4.gif"></div>