Олимпиадные задачи из источника «2007 год» для 9 класса
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)
На некоторых клетках шахматной доски лежит по конфете. Известно, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) лежит чётное количество конфет (возможно, ни одной). Какое максимальное количество конфет может лежать на доске?
На стороне<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>взята точка<i> D </i>так, что<i> AD:DC=</i>1<i>:</i>2. Докажите, что у треугольников<i> ADB </i>и<i> CDB </i>есть по равной медиане.
Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?
Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.
Числа <i>a, b</i> и <i>c</i> отличны от нуля и выполняются равенства: <i>a + <sup>b</sup></i>/<i><sub>c</sub> = b + <sup>c</sup></i>/<i><sub>a</sub> = c + <sup>a</sup></i>/<sub><i>b</i></sub> = 1. Докажите, что <i>ab + bc + ca</i> = 0.
Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили 2007. Каким могло быть исходное число?
В выпуклом пятиугольнике<i> ABCDE </i><i> <img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> A=<img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> B=<img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> D=</i>90<i><sup>o</sup> </i>. Найдите угол<i> ADB </i>, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.
<img align="right" src="/storage/problem-media/109460/problem_109460_img_2.gif">Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?
В выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i> выполняются равенства: ∠<i>CBD</i> = ∠<i>CAB</i> и ∠<i>ACD</i> = ∠<i>ADB</i>.
Докажите, что из отрезков <i>BC, AD</i> и <i>AC</i> можно сложить прямоугольный треугольник.
Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал ⅕ общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал <sup>1</sup>/<sub>7</sub> часть от общего количества. Сколько было школьников?
На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.
Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов <i>ax</i>² + <i>bx + c, bx</i>² + <i>cx + a</i> и <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>
Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?
В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?
Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!
Сторону<i> АВ </i>треугольника<i> АВ</i>Спродолжили за вершину<i> В </i>и выбрали на луче<i> АВ </i>точку<i> А<sub>1</sub> </i>так, что точка<i> В </i>– середина отрезка<i> АА<sub>1</sub> </i>. Сторону<i> В</i>Спродолжили за вершинуСи отметили на продолжении точку<i> В<sub>1</sub> </i>так, чтоС– середина<i> ВВ<sub>1</sub> </i>. Аналогично, продолжили сторонуС<i>А </i>за вершину<i> А </i>и отметили на продолжении точкуС<i><sub>1</sub> </i>так, что<i> А </i>– серединаСС<i><sub>1</sub> </i>. Найдите площадь треугольника<i> А<sub>1&...
Может ли вершина параболы <i>у</i> = 4<i>х</i>² – 4(<i>а</i> + 1)<i>х + а</i> лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении <i>а</i>?
Даны таблица 100×100 клеток и <i>N</i> фишек. Рассматриваются все такие расстановки фишек в клетки таблицы, что никакие две фишки не стоят в соседних клетках. При каком наибольшем <i>N</i> в каждой из этих расстановок можно найти хотя бы одну фишку, от перемещения которой в соседнюю клетку заданное условие не нарушится? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.
Точка<i> M </i>лежит на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABM </i>, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник<i> ACM </i>. Может ли отрезок<i> AM </i>оказаться медианой треугольника<i> ABC </i>?
Найдите все нечётные натуральные числа, большие 500, но меньшие 1000, у каждого из которых сумма последних цифр всех делителей (включая 1 и само число) равна 33.
Что больше: <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif"> или <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?