Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если: а) три отрезка имеют равные длины? б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

Пусть<i> α </i>и<i> β </i>– острые углы такие, что<i> sin²α + sin²β < </i>1. Докажите, что<i> sin²α + sin²β < sin²</i>(<i>α + β</i>).

Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!

Сторону<i> АВ </i>треугольника<i> АВ</i>Спродолжили за вершину<i> В </i>и выбрали на луче<i> АВ </i>точку<i> А₁ </i>так, что точка<i> В </i>– середина отрезка<i> АА₁ </i>. Сторону<i> В</i>Спродолжили за вершинуСи отметили на продолжении точку<i> В₁ </i>так, чтоС– середина<i> ВВ₁ </i>. Аналогично, продолжили сторонуС<i>А </i>за вершину<i> А </i>и отметили на продолжении точкуС<i>₁ </i>так, что<i> А </i>– серединаСС<i>₁ </i>. Найдите площадь треугольника<i> А<sub>1&...

Может ли вершина параболы  <i>у</i> = 4<i>х</i>² – 4(<i>а</i> + 1)<i>х + а</i>  лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении <i>а</i>?