Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Даны таблица 100×100 клеток и <i>N</i> фишек. Рассматриваются все такие расстановки фишек в клетки таблицы, что никакие две фишки не стоят в соседних клетках. При каком наибольшем <i>N</i> в каждой из этих расстановок можно найти хотя бы одну фишку, от перемещения которой в соседнюю клетку заданное условие не нарушится? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Решите уравнение:  (<i>x</i>³ – 2)(2^{sin <i>x</i>} – 1) + (2^<i>x</i>³ – 4) sin <i>x</i> = 0.

Основанием прямоугольного параллелепипеда <i>АВСDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ является квадрат <i>АВСD</i>.

Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой <i>BD</i>₁ и плоскостью <i>ВDС</i>₁.

Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.

Точка<i> M </i>лежит на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABM </i>, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник<i> ACM </i>. Может ли отрезок<i> AM </i>оказаться медианой треугольника<i> ABC </i>?

Найдите все нечётные натуральные числа, большие 500, но меньшие 1000, у каждого из которых сумма последних цифр всех делителей (включая 1 и само число) равна 33.

Что больше:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif">   или   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?