Олимпиадная задача по планиметрии: трапеция и три равнобедренных треугольника, 8-9 класс
Задача
Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.
Решение
Пусть ABCD – данная трапеция, AD и BC – ее основания (AD > BC), AB ⊥ AD. Тогда CD > AB (см. рис.). Пусть M – середина CD, а MN – средняя линия трапеции. Тогда MN ⊥ AB, поэтому в треугольнике AMB высота совпадает с медианой, следовательно, AM = MB. Пусть ∠MBC = α. Так как треугольник BCM – равнобедренный, а угол BCM – тупой, то BC = CM = MD. Поскольку треугольник AMD – равнобедренный и AD > BC, то AD = AM.
∠MAD = 90° – ∠MAB = 90° – ∠MBA = α, ∠BCM = 180° – 2α, ∠ADM = 90° – α/2. Так как ∠BCM + ∠ADM = 180°, то 180° – 2α + 90° – α/2 = 180°, откуда
α = 36°, а ∠ADC = 72°.
Ответ
72°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь