Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника A₁B₁C₁, 8-9 класс
Задача
Сторону АВ треугольника АВСпродолжили за вершину В и выбрали на луче АВ точку А1 так, что точка В – середина отрезка АА1 . Сторону ВСпродолжили за вершинуСи отметили на продолжении точку В1 так, чтоС– середина ВВ1 . Аналогично, продолжили сторонуСА за вершину А и отметили на продолжении точкуС1 так, что А – серединаСС1 . Найдите площадь треугольника А1В1С1 , если площадь треугольника АВСравна1.
Решение
Проведем отрезки В1A , C1B и A1C (см. рис. 10.2). Они являются медианами треугольников CB1C1 , AC1A1 и BA1B1 соответственно. Воспользуемся тем, что
медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Поэтому площади треугольников CB1A и C1B1A равны. Кроме того, так как AC – медиана треугольника BAB1 , то
равны площади треугольников CB1A и ABC . То есть, площадь треугольника CB1C1 в два раза больше площади треугольника ABC и равна 2. Аналогичными рассуждениями получим, что площадь каждого из треугольников AC1A1 и BA1B1 также равна 2.
Следовательно, площадь треугольника A1B1C1 равна 7.
Ответ
7.00
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь