Олимпиадные задачи из источника «2006 год» - сложность 2 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>B</i> на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок <i>PQ</i> параллелен стороне <i>AC</i>.
Решите систему уравнений:
<i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,
cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.
В кубе <i>АВСDА</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub> площадь ортогональной проекции грани <i>АА</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>В</i> на плоскость, перпендикулярную диагонали <i>АС</i><sub>1</sub>, равна 1.
Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.
Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Найдите все простые числа <i>р</i>, для каждого из которых существует такое натуральное число <i>m</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104099/problem_104099_img_2.jpg"> – также натуральное число.
Дан равносторонний треугольник <i>АВС</i>. Точка <i>К</i> – середина стороны <i>АВ</i>, точка <i>М</i> лежит на стороне <i>ВС</i>, причём <i>ВМ</i> : <i>МС</i> = 1 : 3. На стороне <i>АС</i> выбрана точка <i>P</i> так, что периметр треугольника <i>РКМ</i> – наименьший из возможных. В каком отношении точка <i>Р</i> делит сторону <i>АС</i>?
Даны квадратные трёхчлены <i>f</i> и <i>g</i> с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов
равна <i>р</i>. Найдите сумму корней трёхчлена <i>f + g</i>, если известно, что он имеет два корня.
Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.
Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите <i>x</i>(<i>t</i>) – зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.
20 шахматистов сыграли турнир в один круг. Корреспондент "Спортивной газеты" написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.
Сравните без помощи калькулятора числа: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.
Один из углов треугольника на 120° больше другого.
Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний. Кто выигрывает при правильной игре?
Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны.
Можно ли составить магический квадрат 3×3 из первых девяти простых чисел?
В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром.
Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?
Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане – 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов?
В стране Полосатии произошёл переворот и новый лидер приказал перекроить старый флаг на новый (см. рисунки). Как выполнить такой приказ, если разрешается разрезать старый флаг ровно на четыре части?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104076/problem_104076_img_2.jpg"></div>
Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.
Найти все такие натуральные <i>k</i>, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.