Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» для 10 класса - сложность 4 с решениями

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>Z. AA</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты. Прямая <i>A</i>₁<i>C</i>₁ пересекает прямые <i>ZA, ZC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i> касаются.

Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?

Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же окружности?

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Пусть <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i>; описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>, вторично пересекаются в точке <i>P</i>, <i>Z</i> – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, проведённых в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i>, <i>BC</i> и <i>ZC</i>₁ пересекаются в одной точке.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>. Известно, что треугольники, образованные проекциями <i>P</i> и <i>Q</i> на стороны <i>ABC</i>, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

К двум окружностям <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂, пересекающимся в точках <i>A</i> и <i>B</i>, проведена их общая касательная <i>CD</i> (<i>C</i> и <i>D</i> – точки касания соответственно, точка <i>B</i> ближе к прямой <i>CD</i>, чем <i>A</i>). Прямая, проходящая через <i>A</i>, вторично пересекает <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂ в точках и <i>L</i> соответственно (<i>A</i> лежит между <i>K</i> и <i>L</i> ). Прямые <i>KC</i> и <i>LD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, ч...

Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник.

B треугольнике <i>ABC</i> точка <i>O</i> – центр описанной окружности. Прямая <i>a</i> проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины <i>A</i>, и параллельна <i>OA</i>. Aналогично определяются прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ и ω, <i>T</i> – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках <i>B</i> и <i>C, S</i> – точка пересечения <i>AT</i> и ω. Докажите, что <i>P, A</i>₁, <i>S</i> и середина отрезка <i>MT</i> лежат на од...

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>A'</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>BC, O_A</i> – центр окружности, проходящей через <i>A</i> и середины отрезков <i>A'B</i> и <i>A'C</i>. Точки <i>O_B</i> и <i>O_C</i> определяются аналогично. Найдите отношение радиусов описанных окружностей треугольников <i>ABC</i> и <i>O_AO_BO_C</i>.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>CC</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> и параллельную прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>, а <i>AA</i>₁ – высота. Прямые <i>A</i>₀<i>C</i>₁ и <i>A</i>₀<i>B</i>₁ пересекают прямую <i>PQ</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что описанные окружности...

Трапеция <i>ABCD</i> вписана в окружность <i>w</i>  (<i>AD</i> || <i>BC</i>).  Окружности, вписанные в треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i>, касаются оснований трапеции <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>AD</i> окружности <i>w</i>, не содержащих точек <i>A</i> и <i>B</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>XP</i> и <i>YQ</i> пересекаются на окружности <i>w</i>.

Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит <img src="/storage/problem-media/37000/problem_37000_img_2.gif" align="middle">.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>, ∠<i>AMB</i> = 60°. На сторонах <i>AD</i> и <i>BC</i> во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники <i>ADK</i> и <i>BCL</i>. Прямая <i>KL</i> пересекает описанную около <i>ABCD</i> окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>PK = LQ</i>.