Решение 1:   Заметим, что X и Y – диаметрально противоположные точки, следовательно,  ∠XAY = ∠XBY = 90°.

  Пусть I и J – центры вписанных окружностей треугольников ABC и ABD соответственно. Тогда по "теореме о трилистнике" (см. задачу 153119)  XB = XI  и  YA = YJ.  Кроме того,  ∠BXI = ∠BXA = ∠BYA = ∠JYA.  Следовательно, равнобедренные треугольники XBI и YJA подобны, а их стороны, как показано выше, перпендикулярны.

  Следовательно, при поворотной гомотетии, переводящей один треугольник в другой, прямаяJQпереходит в прямуюBC, а прямаяAQ– в прямуюIP. Таким образом,PиQ– соответствующие точки этих треугольников, а значит,XP⊥YQ, что эквивалентно утверждению задачи.

Решение 2:   Нам потребуется следующее утверждение.

  Лемма Саваямы. На стороне AC треугольника ABC выбрали произвольную точку M. Окружность w касается описанной окружности треугольника ABC, отрезка MB в точке P, Q – точка касания окружности w и прямой AC. Тогда центр I вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой QP (рис. слева).

  Лемма верна и в случае, когда точка M лежит на прямой AC, а окружность w касается описанной окружности треугольника ABC внутренним образом и отрезка (а не прямой) AC (рис. в центре). Верна она и в предельном случае, когда прямая BM параллельна AC).

  Рассмотрим окружностьw₁, касающуюся прямыхADиBCи окружностиwв точкеZ(рис. справа). По лемме Саваямы для треугольникаABDи прямойBC, прямая, проходящая через точки касания окружностиw₁с прямымиADиBC, содержит центрJокружностиS, вписанной в треугольникABD. Это значит, что окружностиSиw₁касаются в точкеQ. Теперь излеммы Архимеда(см. задачу156568) для окружностейwиw₁и прямойADследует, что прямаяZQпроходит через серединуYдугиAD, что и требовалось.

Решение 3:   Диаметр XY пересекает основания трапеции в их серединах U и V (см. рис.). Для доказательства утверждения задачи достаточно доказать, что

∠XPU + ∠YQV = 90°,  то есть подобие прямоугольных треугольников XUP и QVY. Это в свою очередь сводится к проверке равенства

XU : PU = QV : QY  или  XU·YV = PU·QV.

  Пусть  ∠BAC= 2α,  ∠ABD= 2β, R– радиус описанной окружности. Тогда  XU = BXsin ∠XBU= 2Rsin²α.  Аналогично  YV= 2Rsin²β,  и XU·YV= 4R² sin²α sin²β.   Далее  ∠ACB= ∠CBD= ∠ADB= 90° – α – β, PU = BU – BP= ½BC– ½ (BC + AB – AC) = ½ (AC – AB) =R(sin (90° + β – α) – sin (90° – α – β) =R(cos (α – β) – cos (α + β)) = 2Rsin α sin β.  Аналогично QV= 2Rsin α sin β,  иPU·QV= 4R² sin²α sin²β =XU·YV.

Ответ задачи отсутствует