Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение прямых, связанных с центром описанной окружности

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты треугольника (см. рис. а, б). Как нетрудно видеть, AO ⊥ B₁ C₁ (если ABC – остроугольный, то ∠C₁ B₁ A = ∠ABC = ¹/₂ ∠AOC = 90° – ∠OAC; для тупоугольного треугольника рассуждения аналогичны). Aналогично BO ⊥ C₁A₁, CO ⊥ C₁A₁. Далее можно рассуждать различными способами.Первый способ. Прямые a', b', c', проведенные через A₁, B₁ и C₁ параллельно соответственно OA, OB, OC, являются высотами треугольника A₁B₁C₁; обозначим точку их пересечения через H' (см. рис. а).Пусть P – середина отрезка OH'. Прямая, параллельная AO, проходящая через P, делит пополам любой отрезок с концами на параллельных прямых AO и a', в частности проходит через середину отрезка AA', то есть совпадает с прямой a. Таким образом, a проходит через P. Aналогично, прямые b и c проходят через P.Bторой способ. Рассмотрим треугольник A₂B₂C₂ с вершинами в серединах отрезков, соединяющих центр описанной окружности с основаниями соответствующих высот (см. рис. б). Тогда B₂ C₂ – средняя линия треугольника C₁B₁ и потому параллельна прямой B₁C₁. C другой стороны, A₀A₂ – средняя линия треугольника AA₁ (A₀, B₀, C₀ – середины высот), а значит, параллельна A, то есть совпадает с данной в условии прямой a и является высотой треугольника A₂ B₂ C₂ , опущенной из вершины A₂.Aналогично, прямые b и c будут двумя другими высотами рассматриваемого треугольника. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, наше утверждение доказано.

Комментарий. Рассмотрим окружность Тэйлора см. рис. в, то есть, окружность, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из оснований высот треугольника на прямые, содержащие пары остальных сторон (подробнее об этом см. Дмитрий Ефремов "Новая геометрия треугольника", Одесса, 1902; в электронном виде на сайте МЦНМО).Докажем, что искомая точка – центр окружности Тэйлора. Рассмотрим хорду этой окружности B₃C₃, соединяющую основания перпендикуляров, опущенных на стороны из точки A₁ – основания соответствующей высоты. Заметим, что серединный перпендикуляр к этой хорде проходит через центр окружности Тэйлора. C другой стороны, он проходит через точку A₀ – середину высоты AA₁, поскольку точка эта есть центр окружности, описанной около четырехугольника AC₃A₁B₃, образованного двумя прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой AA₁ и B₃C₃ – также хорда и этой окружности. Остается только заметить, что прямые B₁ C₁ и B₃ C₃ параллельны (получаются одна из другой соответствующей гомотетией с вершиной A и коэффициентом . Поэтому рассмотренный перпендикуляр совпадает с прямой a. Aналогично для двух других прямых.

Ответ задачи отсутствует