Олимпиадные задачи из источника «2015/2016» - сложность 2 с решениями
Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.
Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трёх верхних шаров лежат на одной прямой.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65663/problem_65663_img_2.png"></div>
Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?
На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления: 1) "Среди моих друзей – нечётное количество рыцарей"; 2) "Среди моих друзей – чётное количество лжецов". Чётно или нечётно количество жителей острова?
Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?
На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зелёный сигнал светофора. Во вторник он шёл с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?
В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?
На стороне <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>E</i>, а на биссектрисе <i>BD</i> – точка <i>F</i> таким образом, что <i>EF || AC</i> и <i>AF = AD</i>. Докажите, что <i>AВ = ВЕ</i>.
Решите уравнение 1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (<i>x</i> + 2016))) = (1,2)².
Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?
Квадрат со стороной 9 клеток разрезали по линиям сетки на 14 прямоугольников таким образом, что длина каждой стороны любого прямоугольника не меньше, чем две клетки. Могло ли оказаться так, что среди этих прямоугольников не было ни одного квадрата?
У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?
Изначально на экране компьютера – какое-то простое число. Каждую секунду число на экране заменяется на число, полученное из предыдущего прибавлением его последней цифры, увеличенной на 1. Через какое наибольшее время на экране возникнет составное число?
Существует ли такая функция <i>f</i>(<i>x</i>), определённая для всех действительных чисел, что <i>f</i>(sin <i>x</i>) + <i>f</i>(cos <i>x</i>) = sin <i>x</i>?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> отмечены середины противоположных сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>– точки <i>M</i> и <i>N</i>. Диагональ <i>AC</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>. Найдите площадь <i>АВСD</i>, если площадь треугольника <i>АВС</i> равна <i>S</i>.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65611/problem_65611_img_2.gif">
Найдите все натуральные <i>n</i> и <i>k</i>, удовлетворяющие равенству <i>k</i><sup>5</sup> + 5<i>n</i><sup>4</sup> = 81<i>k</i>.
В выпуклом пятиугольнике равны все стороны, а также равны четыре из пяти диагоналей.
Следует ли из этого условия, что пятиугольник – правильный?
Известно, что <i>b – c > a</i> и <i>а</i> ≠ 0. Обязательно ли уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?
Напомним, что игра в "морской бой" начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один "корабль" из четырёх клеток, два – из трёх клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных (такие, как на рисунке). По правилам "корабли" не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить квадратное поле для игры, сохранив это правило? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65595/problem_65595_img_2.png"></div>
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>AE</i> = 2<i>BF</i>. На луче <i>EF</i> отмечена точка <i>G</i> так, что <i>GF = EF</i>. Докажите, что угол <i>ACG</i> – прямой.
Известно, что <i>а</i> > 1. Обязательно ли имеет место равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?
Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших чем <sup>1</sup>/<sub>2015</sub> и больших чем <sup>1</sup>/<sub>2016</sub>?
Внутри ромба <i>АВСD</i> выбрана точка <i>N</i> так, что треугольник <i>ВСN</i> – равносторонний. Биссектриса <i>BL</i> треугольника <i>ABN</i> пересекает диагональ <i>АС</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>N</i> и <i>D</i> лежат на одной прямой.