5n⁴ = k(9 + k²)(3 + k)(3 – k).  Левая часть этого равенства положительна при любом натуральном значении n, значит, положительной должна быть и правая часть. Следовательно, достаточно проверить два натуральных значения k:  k = 1  и  k = 2.

  1) Если  k = 1,  то  5n⁴ = 80,  то есть  n = 2.

  2) Если  k = 2,  то  5n⁴ = 130.  Таких натуральных n не существует.

n = 2,  k = 1.