Олимпиадные задачи из источника «7 класс»

В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.

Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трёх верхних шаров лежат на одной прямой.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65663/problem_65663_img_2.png"></div>

Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?

На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления: 1) "Среди моих друзей – нечётное количество рыцарей"; 2) "Среди моих друзей – чётное количество лжецов". Чётно или нечётно количество жителей острова?

Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника.

Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?

На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зелёный сигнал светофора. Во вторник он шёл с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?

В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?

На стороне <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>E</i>, а на биссектрисе <i>BD</i> – точка <i>F</i> таким образом, что  <i>EF || AC</i>  и  <i>AF = AD</i>.  Докажите, что  <i>AВ = ВЕ</i>.

Решите уравнение   1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (<i>x</i> + 2016))) = (1,2)².

Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?

Существует ли такой четырёхугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?

Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.