Олимпиадные задачи из источника «2015/2016» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями
Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.
Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трёх верхних шаров лежат на одной прямой.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65663/problem_65663_img_2.png"></div>
Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?
На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления: 1) "Среди моих друзей – нечётное количество рыцарей"; 2) "Среди моих друзей – чётное количество лжецов". Чётно или нечётно количество жителей острова?
Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?
На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зелёный сигнал светофора. Во вторник он шёл с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?
В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?
На стороне <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>E</i>, а на биссектрисе <i>BD</i> – точка <i>F</i> таким образом, что <i>EF || AC</i> и <i>AF = AD</i>. Докажите, что <i>AВ = ВЕ</i>.
Решите уравнение 1 + 1 : (1 + 1 : (1 + 1 : (<i>x</i> + 2016))) = (1,2)².
Может ли разность четвёртых степеней простых чисел быть простым числом?
Напомним, что игра в "морской бой" начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один "корабль" из четырёх клеток, два – из трёх клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных (такие, как на рисунке). По правилам "корабли" не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить квадратное поле для игры, сохранив это правило? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65595/problem_65595_img_2.png"></div>
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>AE</i> = 2<i>BF</i>. На луче <i>EF</i> отмечена точка <i>G</i> так, что <i>GF = EF</i>. Докажите, что угол <i>ACG</i> – прямой.
Известно, что <i>а</i> > 1. Обязательно ли имеет место равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?
Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших чем <sup>1</sup>/<sub>2015</sub> и больших чем <sup>1</sup>/<sub>2016</sub>?
Внутри ромба <i>АВСD</i> выбрана точка <i>N</i> так, что треугольник <i>ВСN</i> – равносторонний. Биссектриса <i>BL</i> треугольника <i>ABN</i> пересекает диагональ <i>АС</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>N</i> и <i>D</i> лежат на одной прямой.
Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + 3<i>y</i> + 4<i>x + xz</i> + 1?
Можно ли из кубиков размером 1×1×1 склеить многогранник, площадь поверхности которого равна 2015? (Кубики приклеиваются так, что склеиваемые грани полностью примыкают друг к другу.)
Высота <i>АН</i> треугольника <i>АВС</i> равна его медиане <i>ВМ</i>. На продолжении стороны <i>АВ</i> за точку <i>В</i> отложена точка <i>D</i> так, что <i>BD</i> = <i>AB</i>. Найдите угол <i>BCD</i>.
На перемене несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли в него. В результате количество учеников в лицее после перемены уменьшилось на 10%, а доля мальчиков среди учеников лицея увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось количество мальчиков?
Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, для которого (<i>n</i> + 1)(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 3)(<i>n</i> + 4) делится на 1000.
На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?
В выражении <i>x</i><sup>6</sup> + <i>x</i><sup>4</sup> + <i>xA</i> замените <i>А</i> на одночлен так, чтобы получился полный квадрат. Найдите как можно больше решений.
Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих?
На сторонах <i>АВ</i> и <i>АС </i>равнобедренного треугольника <i>АВС</i> (<i>АВ = АС</i>) соответственно отмечены точки <i>М</i>и <i>N</i> так, что <i>АN > AM</i>. Прямые <i>MN</i> и <i>ВС</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Сравните длины отрезков <i>MK</i> и <i>MB</i>.