Олимпиадные задачи из источника «2015/2016» для 10 класса
Квадрат со стороной 9 клеток разрезали по линиям сетки на 14 прямоугольников таким образом, что длина каждой стороны любого прямоугольника не меньше, чем две клетки. Могло ли оказаться так, что среди этих прямоугольников не было ни одного квадрата?
Существует ли многогранник, проекциями которого на три попарно перпендикулярные плоскости являются: треугольник, четырёхугольник и пятиугольник?
У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?
Какое наименьшее количество цветов необходимо, чтобы покрасить все вершины, стороны и диагонали выпуклого <i>n</i>-угольника, если должны выполняться два условия:
1) каждые два отрезка, выходящие из одной вершины должны быть разного цвета;
2) цвет любой вершины должен отличаться от цвета любого отрезка, выходящего из неё?
В треугольник <i>АВС</i> вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Числа <i>а, b</i> и <i>с</i> лежат в интервале (0, 1). Докажите, что <i>a + b + c</i> + 2<i>abc > ab + bc + ca</i> + 2<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65617/problem_65617_img_2.gif">.
Изначально на экране компьютера – какое-то простое число. Каждую секунду число на экране заменяется на число, полученное из предыдущего прибавлением его последней цифры, увеличенной на 1. Через какое наибольшее время на экране возникнет составное число?
Параллелограмм и квадрат расположены так, что вершины квадрата лежат на сторонах параллелограмма (по одной вершине на каждой стороне). Из каждой вершины параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная ближайшей стороне квадрата. Докажите, что точки попарного пересечения этих прямых также являются вершинами квадрата.
Существует ли такая функция <i>f</i>(<i>x</i>), определённая для всех действительных чисел, что <i>f</i>(sin <i>x</i>) + <i>f</i>(cos <i>x</i>) = sin <i>x</i>?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> отмечены середины противоположных сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>– точки <i>M</i> и <i>N</i>. Диагональ <i>AC</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>. Найдите площадь <i>АВСD</i>, если площадь треугольника <i>АВС</i> равна <i>S</i>.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65611/problem_65611_img_2.gif">
Найдите все натуральные <i>n</i> и <i>k</i>, удовлетворяющие равенству <i>k</i><sup>5</sup> + 5<i>n</i><sup>4</sup> = 81<i>k</i>.
В выпуклом пятиугольнике равны все стороны, а также равны четыре из пяти диагоналей.
Следует ли из этого условия, что пятиугольник – правильный?
Известно, что <i>b – c > a</i> и <i>а</i> ≠ 0. Обязательно ли уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?
Рассматриваются все призмы, в основании которых лежит выпуклый 2015-угольник.
Какое наибольшее количество рёбер такой призмы может пересечь плоскость, не проходящая через её вершины?
Сумма девяти различных натуральных чисел равна 200. Всегда ли можно выбрать из них четыре числа так, чтобы их сумма была больше чем 100?
Решите систему уравнений: <img align="middle" src="/storage/problem-media/65486/problem_65486_img_2.png">.
У натурального числа <i>n</i> есть такие два различных делителя <i>а</i> и <i>b</i>, что (<i>а</i> – 1)(<i>b</i> + 2) = <i>n</i> – 2.
Докажите, что число 2<i>n</i> является квадратом натурального числа.
Четырёхугольник <i>АВСD</i> вписан в окружность, <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABD</i>.
Найдите наименьшее значение <i>BD</i>, если <i>AI = BC = CD</i> = 2.
Алгебраисты придумали новую операцию ❆, которая удовлетворяет условиям: <i>а</i> ❆ <i>а</i> = 0 и <i>а</i> ❆ (<i>b</i> ❆ <i>c</i>) = (<i>a</i> ❆ <i>b</i>) + <i>c</i>. Вычислите 2015 ❆ 2014. (Знак "+" определяет сложение в обычном смысле, скобки показывают порядок действий.)
На плоскости проведены <i>n</i> прямых так, что каждые две пересекаются, но никакие четыре через одну точку не проходят. Всего имеются 16 точек пересечения, причём через 6 из них проходят по три прямые. Найдите <i>n</i>.
На сторонах <i>BC</i> и <i>AC</i> правильного треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно.
Докажите, что из отрезков <i>AX, BY</i> и <i>XY</i> можно составить треугольник.
Решите уравнение 2 sin <sup>π<i>x</i></sup>/<sub>2</sub> – 2 cos π<i>x = x</i><sup>5</sup> + 10<i>x</i> – 54.
Решите в натуральных числах уравнение: <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + 1 = 3<i>xy</i>.
Около единичного квадрата <i>ABCD</i> описана окружность, на которой выбрана точка <i>М</i>.
Какое наибольшее значение может принимать произведение <i>MA·MB·MC·MD</i>?