Первый способ. Поскольку  x > 0  и  y > 0,  то согласно неравенству Коши     ⇔  x³ + y³ + 1 ≥ 3xy,  причём равенство достигается тогда и только тогда, когда  x = y = 1.   Второй способ. Если перенести 3xy в левую часть и заменить 1 на z, то уравнение примет вид  x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0.  Согласно задаче 161105 г) левая часть равна  (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz – yz).

  Так как x, y и z – натуральные числа, то нулю может быть равен только второй множитель.

x² + y² + z² – xy – xz – yz = 0  ⇔  2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2xz – 2yz = 0  ⇔  (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0.  Значит,  x = y = z = 1.   Третий способ. Уравнение можно записать в виде

(x + y)((x + y)² – 3xy) + 1 = 3xy  ⇔  ((x + y)³ + 1) – 3xy(x + y) – 3xy = 0  ⇔  (x + y + 1)((x + y)² – (x + y) + 1 – 3xy) = 0.

  Так как х и у – натуральные числа, то  x + y + 1 > 0,  следовательно,  (x + y)² – (x + y) + 1 – 3xy = 0.

  Заметим, что  (x + y)² ≥ 4ху,  поэтому  4ху – (x + y) + 1 – 3xy ≤ 0  ⇔  ху – x – y + 1 ≤ 0  ⇔  (x – 1)(y – 1) ≤ 0.  Для натуральных х и у полученное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда  х = 1  или  у = 1.  Подставив  y= 1  в исходное уравнение, получим:  x³ – 3x+ 2 = 0  ⇔  (x– 1)(x² +x– 2) = 0  ⇔  (x– 1)²(x+ 2) = 0.  Последнее уравнение имеет единственный натуральный корень:  х= 1.   Так как исходное уравнение симметрично относительнохиy,  то при подстановке в него  х= 1  получим, что  y= 1.   Четвёртый способ. Так как исходное уравнение симметрично относительно х и y, то достаточно рассмотреть случай  х ≥ y.

  Запишем уравнение в виде  (x³ – 3xy) + (y³ + 1) = 0.  Так как y – натуральное число, то  y³ + 1 > 0.  Значит,  x³ – 3xy = x(x² – 3y) < 0.  Следовательно,

x² – 3y < 0  (x – натуральное). Учитывая, что  х ≥ y,  то есть –3x ≤ –3y,  получим:  x² – 3x < 0.  Таким образом, x < 3.

  Это означает, что достаточно проверить три случая:

    1)  x = y = 2  – не является решением;

    2)  x = 2,  y = 1  – не является решением;

    3)  x = y = 1  – является решением.

(1, 1).