Из условия следует равенство дуг BC и CD, значит, биссектриса AI угла ВАD пересекает окружность в точке С (см. рисунки). По лемме о трезубце

СI = CB = CD = 2.  Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. Пусть K и N – основания перпендикуляров, опущенных из точек C и I на BD и AD соответственно (рис. слева), тогда из равенства прямоугольных треугольников BKC и ANI следует, что  CK = IN.  Перпендикуляр IP к диагонали BD также равен IN (это радиусы вписанной окружности треугольника ABD), поэтому BD пересекает отрезок CI в его середине L. Таким образом,  CL = IL = 1.

  По теореме о произведении отрезков хорд  BL· DL = AL·CL.  Пусть  BL = x,  DL = y,  тогда  xy = 3.  Из неравенства Коши следует, что наименьшее значения суммы  x + y  достигается, если  x = y = .  Следовательно, значение  BD = 2  – наименьшее из возможных.

         

  Без ограничения общности можно считать, что  AB ≥ AD.  Проведём окружность с центром С и радиусом 2, которая пересечёт сторону АВ в точке Е (рис. справа). Биссектриса АС угла ВАD является её осью симметрии и осью симметрии угла, значит, точки E и D симметричны относительно АС. Следовательно,  АЕ = AD.

  По теореме о произведении отрезков секущих  АЕ· АВ = AI·AF  (IF – диаметр построенной окружности). Следовательно,  АD·АВ = 2· 6 = 12.

  По неравенству Коши  BD = ½ (AB + AD) ≥ = 2.  Равенство достигается, если  AB = AD.

2.