Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Докажите, что среди чисел вида 19991999...19990...0 найдётся хотя бы одно, которое делится на 2001.

Про квадратный трехчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² – <i>ax</i> + 1  известно, что  | <i>f</i>(<i>x</i>)| ≤ 1  при  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение <i>а</i>.

Корни уравнения  <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = <i>b</i>  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  <i>a</i>² + <i>b</i>²  является составным.

Диагонали равнобокой трапеции<i>АВСD</i>с боковой стороной<i>АВ</i>пересекаются в точке<i>Р</i>. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника<i>ABP</i>?

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точки <i>E, F</i> и <i>G</i> – середины сторон <i>AB, BC</i> и <i>AD</i> соответственно, причём  <i>GE</i> ⊥ <i>AB</i>,  <i>GF</i> ⊥ <i>BC</i>.  Найдите угол <i>ACD</i>.

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения:  <i>y</i>² – |<i>y</i>| = <i>x</i>² – |<i>x</i>|.

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

Квадратный трехчлен  <i>y</i> = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  не имеет корней и  <i>а + b + c</i> > 0.  Найдите знак коэффициента <i>с</i>.

Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?

Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)? <center><img src="/storage/problem-media/86509/problem_86509_img_2.png"></center>

Решая задачу:   "Какое значение принимает выражение  <i>x</i>²⁰⁰⁰ + <i>x</i>¹⁹⁹⁹ + <i>x</i>¹⁹⁹⁸ + 1000<i>x</i>¹⁰⁰⁰ + 1000<i>x</i>⁹⁹⁹ + 1000<i>x</i>⁹⁹⁸ + 2000<i>x</i>³ + 2000<i>x</i>² + 2000<i>x</i> + 3000

(<i>x</i> – действительное число), если  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0?",  Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася?

В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех пяти курсов. Каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач. Каждые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало ровно по одной задаче?