ПустьABCD — данная трапеция,MиK — середины диагоналей (см. рис. 1). Через точку В проведем прямую, параллельнуюCD, которая пересекает основаниеADв точке Е. Так какBCDE — параллелограмм, тоBE=CD= 8 см. ТогдаAE=AD-ED=AD-BC.

Используем, чтоMK= 0, 5(AD-BC). (Этот факт можно доказать, продолжив отрезокMK, лежащий на средней линии трапеции, до пересечения с одной из боковых сторон трапеции. ЕслиN — точка пересечения, то отрезкиKNиMNявляются средними линиями треугольниковABDиABCсоответственно.) По условию,MK= 5 см, значит,AE= 10 см. В треугольникеABEдлины сторон равны 6 см, 8 см и 10 см, значит,$\triangle$ABE — прямоугольный с прямым углом В (по теореме, обратной теореме Пифагора). ПустьPиQ — середины основанийBCиADсоответственно. Вычислить длинуPQможно различными способами.

Первый способ. Рассмотрим четырехугольникPKQM(см. рис. 2). Его противолежащие стороныPMиKQявляются средними линиями треугольниковABCиABDсоответственно, значит,PKQM — параллелограмм. Так какPM|AB,PK|CD|BEиАВ$\perp$BE, тоPM$\perp$РK, то есть,PKQM — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, следовательно,PQ=MK= 5 см.

Второй способ. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точкеF(см. рис. 3) и используем известный факт: прямая, проходящая через середины оснований трапеции содержит точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны (его можно доказать, используя либо векторы, либо подобие треугольников, либо гомотетию). По ранее доказанному,$\angle$AFD= 90⁰, следовательно, точкиPиQявляются центрами описанных окружностей для прямоугольных треугольниковBFCиAFDсоответственно. Значит,QFиPF — радиусы этих окружностей, поэтому,PQ=QF-PF= 0, 5AD- 0, 5BC= 0, 5(AD-BC) = 5 (см).

Рис. 1                       Рис. 2                       Рис. 3

5 см.