Пусть    – разложение N на простые множители. Без ограничения общности можно считать, что  P = p₁.  Тогда

d(N) = (k₁ + 1)(k₂ + 1)...(k_s + 1)  и     Нетрудно проверить, что

  если  p > 3,  k ≥ 2,  то   > p,  а если  p = 3,  k = 2,  то   = p;

  если  p = 3,  k > 2,  то   > p;

  если p ≥ 2,  то   ≥ 1,  причём если  p > 2  или  k > 1,  то неравенство строгое;

  если p = 2,  k ≥ 4,  то   > p.

  Рассмотрим два варианта.

  1) N делится на   , то есть  k₁ ≥ 2.  В силу приведённых неравенств     не больше p₁ только при  p₁ = 3,  k₁ = 2  или  p₁ = 2,  k₁ = 2 или 3.

  В первом случае в произведении уже есть сомножитель, равный p₁, значит, все остальные сомножители равны единице. Следовательно, либо  N = 9,  либо  N = 2·9 = 18.

  Во втором случае, если  k₁ = 3,  то   = 2,  а значит,  N = 8.  Если  k₁ = 2,  то   = ⁴/₃.  В знаменателе появилась тройка. Следовательно,  N кратно 3. Число  N = 3·2²  подходит, и поскольку   > 1,5  при  k > 1,  то в большей степени тройка в разложение N входить не может.

  Итак, в этом варианте подходят только числа  N = 8, 9, 12 и 18.

  2)   k₁ = 1.  Тогда первый множитель равен  ^p₁/₂. Следовательно, произведение остальных множителей равно 2. Если число N имеет простой делитель, не меньший 5, то соответствующий ему множитель больше 2, что невозможно. Следовательно,  N = p·2^s³r  и при этом  r ≤ 1  (иначе   > 2)  и  s ≤ 3  (иначе   > 2).  Перебрав все эти варианты, получаем, что подходят числа  N = 24, 8p, 12p, 18p.

8, 9, 12, 18, 24, 8p, 12p, 18p, где p – произвольное простое число, большее 3.