Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур»

Из первых <i>k</i> простых чисел  2, 3, 5, ..., <i>p_k</i>  (<i>k</i> > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·<i>p_k</i>, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через <i>S</i>. Доказать, что  <i>S</i> + 1  разлагается в произведение более 2<i>k</i> простых сомножителей.

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Доказать, что уравнение  19<i>x</i>³ – 17<i>y</i>³ = 50  не имеет решений в целых числах.

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.

В квадрате расположено<i>K</i>точек (<i>K</i>> 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?