Предположим, что на сторонах треугольника ABCвнешним образом построены квадратыABB₁A₁,BCC₂B₂,ACC₃A₃и вершиныA₁,B₁,B₂,C₂,C₃,A₃лежат на одной окружности S. Серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁,B₂C₂,A₃C₃проходят через центр окружности S. Ясно, что серединные перпендикуляры к отрезкам A₁B₁,B₂C₂,A₃C₃совпадают с серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ABC, поэтому центр окружности Sсовпадает с центром описанной окружности треугольника.

Обозначим центр описанной окружности треугольника ABCчерез O. Расстояние от точки Oдо прямой B₂C₂равно Rcos A+ 2Rsin A, где R— радиус описанной окружности треугольника ABC. Поэтому  OB₂²= (Rsin A)²+ (Rcos A+2Rsin A)²=R²(3 + 2(sin 2A- cos 2A)) =R²(3 - 2$\sqrt{2}$cos(45^o+ 2A)). Ясно, что для того, чтобы треугольник обладал требуемым свойством, необходимо и достаточно, чтобы OB₂²=OC₃²=OA₁², т. е.  cos(45^o+ 2$\angle$A) = cos(45^o+ 2$\angle$B) = cos(45^o+2$\angle$C). Это равенство выполняется при$\angle$A=$\angle$B=$\angle$C= 60^o. Если же$\angle$A$\ne$$\angle$B, то(45^o+ 2$\angle$A) + (45^o+ 2$\angle$B) = 360^o, т. е.$\angle$A+$\angle$B= 135^o. Тогда$\angle$C= 45^oи$\angle$A=$\angle$C= 45^o,$\angle$B= 90^o(или$\angle$B= 45^o,$\angle$A= 90^o). Мы видим, что треугольник должен быть либо равносторонним, либо равнобедренным прямоугольным.

Ответ задачи отсутствует