Задача
На какое целое число надо умножить999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
Решение
Запишем число 999999999 в виде1 000 000 000 - 1. Обозначим искомое число черезAи пусть$\overline{A}$ — десятичная запись числаA. Очевидно,999 999 999 . A= 1 000 000 000 A-A=$\overline{A000000000}$-A. Это число и должно состоять из одних единиц. Итак,
1 000 000 000 A - A = 111...11,
откуда
A = 1000 000 000A - 111...11
или
A = $\displaystyle \overline{A000\,000\,000}$ - 11...1.(() * )
Так как последние цифры уменьшаемого известны, то мы можем производить
вычитание (`` в столбик'' ), выясняя тем самым последние знаки самого числаA, стоящего в левой части равенства (*). Приписывая эти знаки слева к
нулям в правой части, мы сможем продолжить вычитание, выясняя новые знаки, и
так далее, пока это возможно (т. е. пока вновь полученные знаки числаAне
станут равными 1).
Покажем, как происходит этот процесс, на примере более короткого числа 99:
99A = 100A - A = 111...11,
так что
A = 100A - 111...11 = $\displaystyle \overline{A00}$ - 111...1.
Вот последовательное вычисление знаков:
и так далее.
В нашем случае, как нетрудно убедиться, получится число
A1 = $\displaystyle \underbrace{11\dots 1}{{\rm 9 цифр}}^{},$ $\displaystyle \underbrace{22\dots 2}{{\rm 9 цифр}}^{},$ ... $\displaystyle \underbrace{77\dots 7}{{\rm 9 цифр}}^{},$ $\displaystyle \underbrace{88\dots 8}{{\rm 8 цифр}}^{},$ 9.
Полученное числоA1, очевидно,наименьшее, обладающее требуемым
свойством, так как каждый знак числаA1с необходимостью получался из
последующих. Но это число — не единственное, так как наш процесс можно
продолжить, дописав слева отA1девять нулей (111...11 - 111...11 = 000...00) и возобновив вычитание.
Ясно, что любое числоAnс требуемым свойством имеет вид:
An = A1$\displaystyle \underbrace{000\dots 00}{{\rm 9
цифр}}^{},$ A1 $\displaystyle \underbrace{000\dots 00}{{\rm 9
цифр}}^{},$ A1... 0 A1$\displaystyle \underbrace{000\dots 00}_{{\rm 9
цифр}}^{},$ A1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет