Задача
Даныnкомплексных чиселC1,C2,...,Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклогоn-угольника. Доказать, что если комплексное числоzобладает тем свойством, что
$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,
то точка плоскости, соответствующаяz, лежит внутри этогоn-угольника.
Решение
Предположим, что точкаzлежит вне рассматриваемого многоугольникаC1...Cn. Тогда через точкуzможно провести прямую, не пересекающую многоугольникC1...Cn. Поэтому векторыz-C1, ...,z-Cnлежат в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной полуплоскости лежат и векторы${\frac{1}{z-C_1}}$, ...,${\frac{1}{z-C_n}}$, поскольку${\frac{1}{w}}$=${\frac{\overline{w}}{\vert w\vert^2}}$. Поэтому
$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$$\displaystyle \ne$0.
Получено противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет