Будем обозначать клетку, находящуюся на пересечении строки a и столбца b, через  (а, b).  Каждое из чисел 1, 2, ..., N встречается в такой записи всех клеток ровно 2N раз: N раз как номер столбца и N раз как номер строки. Пусть 1 стоит в клетке  (а, х).  Номер строки, в которой стоит 2, по условию, равен номеру столбца, содержащего 1, то есть х. Значит, 2 стоит в клетке  (х, у).  Далее, 3 стоит в клетке  (у, z)  и так далее; наконец, N² стоит в некоторой клетке  (m, n).  Ясно, что номер а встречается внутри (то есть не на первом и не на последнем месте) цепочки  (а, х) → (х, у) → (у, z) → ... → (m, n)  чётное число раз. Так как при этом а стоит в начале цепочки и всего встречается чётное число (2N) раз, то этот номер должен стоять и в конце цепочки:  n = а.  Итак, строка, содержащая 1, имеет тот же номер, что и столбец, содержащий N².

  Рассмотрим любое, кроме 1 и N², число р из столбца, в котором стоит N². Следующее число, то есть  р + 1,  стоит, как следует из доказанного, в строке, содержащей число 1. Итак, каждому числу из столбца, содержащего N², соответствует на единицу большее число из строки, содержащей 1. Исключение составляет лишь N². Кроме того, число 1 также не имеет себе пары в столбце. Следовательно, искомая разность равна  –1·(N – 1) + N² – 1 = N² – N.

На  N² – N.