Задача
nотрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.
Решение
Если в треугольникеABCуголCне меньше$\pi$/n, то
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C$\displaystyle \ge$a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$$\displaystyle \ge$(a2 + b2)(1 - cos$\displaystyle {\frac{\pi}{n}}$).
Предположим, что все стороны рассматриваемого 2n-угольника меньше стороны
правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1. Тогда квадрат
длины любой стороны меньше${\frac{1}{2}}$(1 - cos${\frac{\pi}{n}}$). Прямые,
проходящие через данные отрезки, делят плоскость на 2nуглов, поэтому
наибольший из этих углов не меньше${\frac{\pi}{n}}$. Рассмотрим два данных
отрезка, образующих этот угол. Концы этих отрезков соединяют две стороны
2n-угольника, лежащие против углов, не меньших${\frac{\pi}{n}}$. Поэтому
сумма квадратов длин этих сторон не меньше, чем сумма квадратов длин
четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки делятся точкой пересечения,
умноженная на1 - cos${\frac{\pi}{n}}$. С другой стороны, согласно предположению
сумма квадратов длин двух сторон 2n-угольника меньше1 - cos${\frac{\pi}{n}}$.
Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые выбранные отрезки
делятся точкой их пересечения, меньше 1. Но этого не может быть, поскольку
отрезок длины 1 делится на отрезкиxи 1 -x, аx2+ (1 -x)2= 2(x-${\frac{1}{2}}$)2+${\frac{1}{2}}$$\ge$${\frac{1}{2}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет