Предположим, что каждая из сторон четырёхугольникаABCDменьше${\frac{\sqrt{2}}{2}}$. Тогда квадрат длины каждой стороны меньше${\frac{1}{2}}$. Среди четырёх углов, образованных пересекающимися прямымиABиCD, есть два неострых угла. Рассмотрим стороны четырёхугольника, расположенные в этих неострых углах. Сумма квадратов их длин меньше 1. Квадрат длины стороны треугольника, лежащей против неострого угла, не меньше суммы квадратов длин двух других сторон треугольника.

Поэтому сумма квадратов длин четырёх отрезков, на которые делятся отрезкиABиCDточкой пересечения, меньше 1. С другой стороны, каждый из этих отрезков делится точкой пересечения на два отрезка, сумма квадратов длин которых не меньше${\frac{1}{2}}$, посколькуx²+ (1 -x)²= 2(x-${\frac{1}{2}}$)²+${\frac{1}{2}}$$\ge$${\frac{1}{2}}$. Получено противоречие.

Ответ задачи отсутствует