Покажем сначала, что общие хорды окружностиOи каждой из окружностей, проходящих через точкиAи В, пересекаются в одной точке. Для этого проведём через точкиAи В любую окружностьO₁, пересекающую данную окружностьOв точкахM₁иN₁, и обозначим через Р точку пересечения прямыхM₁N₁иAB. Проведём теперь через точкуPсекущуюM₂N₂к окружностиOи построим окружностьO₂, проходящую через точкиM₂,N₂,A. По известной теореме,

где В' — точка пересечения прямойABс окружностьюO₂. ОтсюдаPA ^. PB'=PA ^. PB, т. е.PB'=PB, и потому точки В и В' совпадают. Ясно, что таким способом может быть построена любая окружность, проходящая через точкиAи В и пересекающая окружностьO. В самом деле, кроме знания точекAи В, для определения окружности необходимо и достаточно задания ещё одной точки. Пусть это будет одна из точек пересечения искомой окружности с окружностьюO. По этой точкеMмы построим секущуюPMNи через точкиM,NиAпроведём окружность. Как было показано, она непременно пройдёт и через точку В.

Итак, мы показали, что любая окружность, проходящая через точкиAи В и пересекающаяся с окружностьюO, имеет сOобщую секущую, проходящую через фиксированную точку Р, которую можно построить (с помощью любой такой окружности). Заметим теперь, что в данной окружности все хорды данной длины лежат на одном расстоянии от центра и, значит, касаются некоторой окружности, которую также можно построить с помощью любой такой хорды.

Построение, завершающее решение задачи, теперь очевидно: нужно из точки Р провести касательную к вспомогательной окружности и по этой касательной построить искомую окружность, как было описано выше.

Заметим, наконец, что в том случае, когда перпендикуляр, проведённый через середину отрезкаAB, проходит через центр окружностиO, общие хорды данной окружности и каждой из окружностей, проходящих через точкиAи В, уже не будут пересекаться в одной точке, но будут все параллельны прямойAB. В этом случае завершающее построение состоит в проведении прямой, параллельной данной прямойABи касающейся вспомогательной окружности, и в последующем построении искомой окружности по этой касательной.

(Решение из книги [#!Leman!#].)

Ответ задачи отсутствует