Олимпиадные задачи из источника «1959 год» для 9 класса
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Даны два пересекающихся отрезка длины 1,<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника<i>ABCD</i>не меньше${\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.
Даны 12 чисел,<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...<i>a</i><sub>12</sub>, причём имеют место следующие неравенства:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>2</sub>(<i>a</i><sub>1</sub> - <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub>)</td> <td align="CENTER"><</td> <td align="LEFT">0</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i><sub>3</sub>(<i>a</i><sub>2</sub> - <i>a</i&...
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
Доказать, что в любом шестизначном числе можно переставить цифры так, чтобы сумма первых трёх отличалась от суммы вторых трёх меньше, чем на 10.
На какое целое число надо умножить999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
Дан треугольник <i>ABC</i>. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.
Имеется два набора чисел <i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub> > <i>b</i><sub>2</sub> > ... > <i>b<sub>n</sub></i>. Доказать, что <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>n</sub> > a</i><sub>1</sub><i>b<sub>n</sub> + a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>n</i>–1</sub> + ... + <i>a&...
Дана невозрастающая последовательность чисел <sup>1</sup>/<sub>2<i>k</i></sub> = <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ ... > 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> + ... = 1.
Доказать, что найдутся <i>k</i> чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.
Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>. Пусть<i>a</i><sub>1</sub>и<i>a</i><sub>2</sub>— внутренние касательные к этим окружностям,<i>a</i><sub>3</sub>и<i>a</i><sub>4</sub>— внешние касательные к ним. Пусть, далее,<i>a</i><sub>5</sub>и<i>a</i><sub>6</sub>— касательные к окружности с центром в<i>O</i><sub>1</sub>, проведённые из точки<i>O</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>7</sub>и<i>a</i><sub>8</sub>— касательные к окружности с центром в точке<i>O<...
Дан выпуклый четырёхугольник<i>ABCD</i>. Середины сторон<i>AB</i>и<i>CD</i>обозначим соответственно через<i>K</i>и<i>M</i>, точку пересечения<i>AM</i>и<i>DK</i>— через<i>O</i>, точку пересечения<i>BM</i>и<i>CK</i>— через<i>P</i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i>MOKP</i>равна сумме площадей треугольников<i>BPC</i>и<i>AOD</i>.
Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?
Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкостью2 -$\sqrt{2}$и$\sqrt{2}$, перелить из одной в другую ровно 1 литр?
Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.
Как должна двигаться ладья по шахматной доске, чтобы побывать на каждом поле по одному разу и сделать наименьшее число поворотов?
Можно ли расположить все трёхзначные числа, не оканчивающиеся нулями, в последовательности так, чтобы последняя цифра каждого числа была равна первой цифре следующего за ним?
Доказать, что число2<sup>2<sup>1959</sup></sup>– 1 делится на 3.
Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— целые числа. Напишем число<i>b</i>справа от числа<i>a</i>. Если число<i>a</i>чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число<i>a</i><sub>1</sub>напишем под числом<i>a</i>. Справа от числа<i>a</i><sub>1</sub>напишем число 2<i>b</i>. С числом<i>a</i><sub>1</sub>проделаем ту же операцию, что и с числом<i>a</i>, и, получив число<i>a</i><sub>2</sub>, напишем его под числом<i>a</i><sub>1</sub>. Справа от числа<i>a</i><sub>2</sub>напишем число 4<i>b&l...