Задачи и олимпиады по математике

Задача

ТочкаG— центр шара, вписанного в правильный тетраэдрABCD. ПрямаяOG, соединяющаяGс точкойO, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точкахA',B',C',D'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = 4.

Решение

Опустим из точкиOперпендикулярыOA₁,OB₁,OC₁иOD₁на грани. Из точкиGтоже опустим перпендикулярыGA₂,GB₂,GC₂иGD₂на грани. Ясно, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = $\displaystyle {\frac{OA_1}{GA_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OB_1}{GB_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OC_1}{GC_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OD_1}{GD_2}}$

иGA₂=GB₂=GC₂=GD₂=x. Остаётся доказать, чтоOA₁+OB₁+OC₁+OD₁= 4x.

Пустьa— длина ребра правильного тетраэдраABCD,V— объём тетраэдра. Тогда

a(OA₁ + OB₁ + OC₁) = 3V.

Поэтому суммаOA₁+OB₁+OC₁+OD₁одна и та же для всех точекOвнутри тетраэдраABCD. Но еслиOсовпадает сG, то эта сумма равна 4x.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления