Задачи и олимпиады по математике

Задача

Внутри равностороннего треугольникаABCнаходится точкаO. ПрямаяOG, соединяющаяOс центром тяжести (точкой пересечения медиан)Gтреугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точкахA',B',C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Решение

Опустим из точкиOперпендикулярыOA₁,OB₁иOC₁на стороны треугольника. Из точкиGтоже опустим перпендикулярыGA₂,GB₂иGC₂на стороны треугольника. Ясно, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = $\displaystyle {\frac{OA_1}{GA_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OB_1}{GB_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OC_1}{GC_2}}$

иGA₂=GB₂=GC₂=x. Остаётся доказать, чтоOA₁+OB₁+OC₁= 3x.

Пустьa— сторона равностороннего треугольникаABC,S— его площадь. Тогдаa(OA₁+OB₁+OC₁) = 2S. Поэтому суммаOA₁+OB₁+OC₁одна и та же для любой точкиOвнутри треугольникаABC. Но еслиOсовпадает сG, то эта сумма равна 3x.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления