Пусть для определённостиa ≥ b. Тогда наименьший угол треугольника — это уголBили уголC. Рассмотрим полуокружностьSрадиусаa. ПустьC— центр этой полуокружности, аB— точка на продолжении диаметра, для которойCB = a. Проведём из точкиBкасательнуюBA₁к полуокружностиS. Если$\angle$A₁CB ≥ $\angle$A₁BC, то наименьший угол треугольника будет наибольшим, если вершинаAзанимает положениеA₁. Действительно, уголBвсегда не превосходит углаA₁BC. Неравенство$\angle$A₁CB ≥ $\angle$A₁BCэквивалентно тому, чтоb ≤ c = $\sqrt{a^2-b^2}$, т.е.a ≥ $\sqrt{2}$b. Таким образом, еслиa ≥ $\sqrt{2}$b, то третья сторона должна быть равна$\sqrt{a^2-b^2}$. Предположим теперь, чтоa < $\sqrt{2}$b. Тогда, в частности,a < 2b, поэтому серединный перпендикуляр к отрезкуBCпересекает полуокружность в некоторой точкеA₂. Наименьший угол треугольника будет наибольшим, если вершинаAзанимает положениеA₂. Действительно, предположим сначала, что точкаAдвижется по полуокружности из положенияA₂так, что её проекция наBCдвижется к точкеB. Тогда наименьшим будет уголC, и он будет убывать. Предположим теперь, что точкаAдвижется так, что что её проекция движется от точкиB. Тогда наименьшим будет уголB, и он будет тоже убывать. (Это следует из того, что в рассматриваемой ситуации$\angle$CBA₂ ≤ $\angle$CBA₁). Таким образом, еслиb ≤ a < $\sqrt{2}$b, то третья сторона должна быть равнаb.

Ответ задачи отсутствует