Пусть окружностиS₁иS₂касаются внешним образом в точкеA. Пусть, далее,O₁иO₂— их центры,R₁иR₂— их радиусы. Докажем, что длина касательной, проведённой из точкиBокружностиS₁к окружностиS₂, равнаAB$\sqrt{\frac{R_1+R_2}{R_1}}$. Действительно, пустьX— вторая точка пересечения прямойABс окружностьюS₂. Тогда квадрат длины касательной равенBX ^. BA. Ясно, чтоAB:BX=O₁A:O₁O₂, поэтому

Ясно, что точки касания трёх равных окружностей с четвёртой окружностью образуют правильный треугольник. Поэтому остаётся доказать, что одно из расстояний от произвольной точки описанной окружности правильного треугольника до его вершины равно сумме двух других расстояний. Пусть точкаMлежит на дугеABописанной окружности правильного треугольникаABC. Тогда$\angle$BMC=$\angle$BAC= 60^o. Поэтому если на отрезкеMCмы возьмём точкуM'так, чтоMM'=MB, то треугольникMBM'будет правильным. При повороте на60^oс центромBтреугольникBMAпереходит в треугольникBM'C, поэтомуM'C=MA. Следовательно,MC=MM'+M'C=MB+MA.

Ответ задачи отсутствует