Олимпиадные задачи из источника «1957 год» - сложность 3 с решениями
Дано <i>n</i> целых чисел <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, причём <i>a<sub>i</sub> ≤ a</i><sub><i>i</i>+1</sub> ≤ 2<i>a<sub>i</sub></i> (<i>i</i> = 1, 2,..., <i>n</i> – 1) и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k + 1</sup>.
Точка<i>G</i>— центр шара, вписанного в правильный тетраэдр<i>ABCD</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>G</i>с точкой<i>O</i>, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78127/problem_78127_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78127/problem_78127_img_3.gif&q...
Найти все действительные решения системы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78126/problem_78126_img_2.gif">
Дан четырёхугольник<i>ABCD</i>. Вписать в него прямоугольник с заданными направлениями сторон.
Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?
Найти все действительные решения системы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78121/problem_78121_img_2.gif">
Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
Найти все действительные решения системы уравнений <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">
Внутри равностороннего треугольника<i>ABC</i>находится точка<i>O</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>O</i>с центром тяжести (точкой пересечения медиан)<i>G</i>треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/problem_78117_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/proble...
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>8</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>9</sup>.
В треугольнике известны две стороны<i>a</i>и<i>b</i>. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Радиолампа имеет семь контактов, расположенных по кругу и включаемых в штепсель, имеющий семь отверстий. Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал на свое место (то есть в отверстие с тем же номером)?
Прямые<i>OA</i>и<i>OB</i>перпендикулярны. Найти геометрическое место концов<i>M</i>таких ломаных<i>OM</i>длины 1, которые каждая прямая, параллельная<i>OA</i>или<i>OB</i>, пересекает не более чем в одной точке.
Плоский многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>составлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точка <i>M</i> – середина диагонали <i>AC</i>, точка <i>N</i> – середина диагонали <i>BD</i>. Прямая <i>MN</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M'</i> и <i>N'</i>. Доказать, что если <i>MM' = NN'</i>, то <i>BC || AD</i>.
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.