Задача
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
Решение
Пустьα ≤ β ≤ γ — углы данного треугольника. По условию этот треугольник неравносторонний, поэтомуγ - α > 0. Как видно из решения задачи178113, углы второго полученного треугольника равны${\frac{\beta+\gamma}{2}}$ ≥ ${\frac{\alpha+\gamma}{2}}$ ≥ ${\frac{\alpha+\beta}{2}}$. Для него разность между наибольшим и наименьшим углом равна${\frac{\gamma-\alpha}{2}}$. Аналогично дляn-го треугольника разность между наибольшим и наименьшим углом равна${\frac{\gamma-\alpha}{2^n}}$. При разныхnэти величины разные, а у подобных треугольников они должны быть одинаковыми.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь