Задача
Найти все решения системы уравнений x(1 – 2–n) + y(1 – 2–n–1) + z(1 – 2–n–2) = 0, где n = 1, 2, 3, 4, ...
Решение
Указанная бесконечная система уравнений эквивалентна системе двух уравнений: x + y + z = 4x + 2y + z = 0.
Действительно, если мы вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2–n–2, то получим n-е уравнение исходной системы.
С другой стороны, из первых двух уравнений исходной системы x(1 – ½) + y(1 – ¼) + z(1 – ⅛) = 0, x(1 – ¼) + y(1 – ⅛) + z(1 – 1/16) = 0 следуют указанные два уравнения. Действительно, вычтя из первого уравнения второе, получим x/4 + y/8 + z/16 = 0. Прибавив это ко второму уравнению, получим
x + y + z = 0.
Ответ
(t, – 3t, 2t) (t – произвольное число).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь