Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур»

Существуют ли в пространстве четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>такие, что<i>AB</i>=<i>CD</i>= 8 см,<i>AC</i>=<i>BD</i>= 10 см,<i>AD</i>=<i>BC</i>= 13 см?

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— точки пересечения прямых<i>AS</i>,<i>BS</i>,<i>CS</i>соответственно со сторонами<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника, где<i>S</i>— произвольная внутренняя точка треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников<i>AB</i>₁<i>SC</i>₁,<i>C</i>₁<i>SA</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₁<i>SB</i&...

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 3<i>a</i>₂ + 2<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + 2<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 3<i>a</i>₄ + 2<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 3<i>a</i>₁₀₀ +...

Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Доказать, что если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78003/problem_78003_img_2.gif">   то  <i>x</i>⁴ + <i>a</i>₁<i>x</i>³ + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x + a</i>₄  делится на  (<i>x – x</i>₀)².