Олимпиадные задачи из источника «1954 год» для 8 класса
Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.
Известно, что модули всех корней уравнений <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0, <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0 также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.
Дан отрезок <i>OA</i>. Из конца отрезка <i>A</i> выходит 5 отрезков <i>AB</i><sub>1</sub>, <i>AB</i><sub>2</sub>, <i>AB</i><sub>3</sub>, <i>AB</i><sub>4</sub>, <i>AB</i><sub>5</sub>. Из каждой точки <i>B</i><sub>i</sub> могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки <i>O</i>).
Если дан ряд из 15 чисел<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>,..., <i>a</i><sub>15</sub>, (1) </div>то можно написать второй ряд<div align="CENTER"> <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>,..., <i>b</i><sub>15</sub>, (2) </div>где<i>b</i><sub>i</sub>(<i>i</i>= 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших<i>a</i><sub>i</sub>. Существует ли ряд чисел<i>a</i><sub>i</sub>, если дан ряд чисел<i>b</i><sub>i</sub>:<div align="CENTER"> 1, 0, 3, 6, 9, 4, 7...
Дано число <i>H</i> = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., <i>H</i> – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что <i>AB = CD, AD = BC</i> и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.
Решить систему: 10<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> = 0, 11<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 3<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> = 0, 15<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 5<i>x</i><sub>5</sub> + 4<i>x</i><sub>6</sub> + <i>x</i><sub>7</sub> = 0, 2<i>x</i><sub>1&...
План города представляет собой плоскость, разбитую на одинаковые правильные треугольники. Стороны треугольников – шоссейные дороги, а вершины треугольников – перекрестки. Из точек <i>A</i> и <i>B</i>, расположенных на одной дороге (стороне треугольника), одновременно в одном направлении с одинаковыми скоростями выезжают две машины. Доехав до любого перекрёстка, каждая машина может или продолжить свое движение в том же направлении, или же повернуть на 120° вправо или влево. Могут ли машины встретиться?
Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой. Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на отрезке (идущем по сторонам клеток - прим.ред.), соединяющем два узла, обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел, обозначенный одной из других букв?
Дано число123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.
Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.
Существуют ли целые числа <i>m</i> и <i>n</i>, удовлетворяющие уравнению <i>m</i>² + 1954 = <i>n</i>²?
Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="RIGHT"> ×</td> <td align="LEFT"> </td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT"> </td> <td...
Даны два выпуклых многоугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и<i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>3</sub><i>B</i><sub>4</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>. Известно, что<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>=<i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>=<i>B</i><sub>2</su...