Задачи и олимпиады по математике

Задача

Даны четыре прямыеm₁,m₂,m₃,m₄, пересекающиеся в одной точкеO. Через произвольную точкуA₁прямойm₁проводим прямую, параллельную прямойm₄, до пересечения с прямойm₂в точкеA₂, черезA₂проводим прямую, параллельнуюm₁, до пересечения сm₃в точкеA₃, черезA₃проводим прямую, параллельнуюm₂, до пересечения сm₄в точкеA₄и через точкуA₄проводим прямую, параллельнуюm₃, до пересечения сm₁в точкеB.

Доказать, чтоOB$\le$${\frac{OA_1}{4}}$(см. рис.).

Решение

Пусть$\vec{a},$=$\overrightarrow{OA_1}$,$\vec{b},$=$\overrightarrow{OA_2}$,$\vec{c},$=$\overrightarrow{OA_3}$,$\vec{d},$=$\overrightarrow{OA_4}$. Выразим эти векторы черезe₁=$\vec{a},$иe₂=$\vec{d},$. В результате получим

$\displaystyle \vec{b}\,$	= e₁ + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$e₂,
$\displaystyle \vec{c}\,$	= $\displaystyle \vec{b}\,$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$e₁ = (1 - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$)e₁ + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$e₂,
e₂	= $\displaystyle \vec{c}\,$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{}$$\displaystyle \vec{b}\,$ = (1 - $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{}$)e₁ + ($\displaystyle \lambda_{1}^{}$ - $\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{3}^{}$)e₂.

Из последнего равенства вытекают соотношения1 -$\lambda_{2}^{}$=$\lambda_{3}^{}$и$\lambda_{1}^{}$-$\lambda_{1}^{}$$\lambda_{3}^{}$= 1. Наконец, пусть-$\mu$e₁=$\overrightarrow{OB}$. Тогда-$\mu$e₁=e₂-$\lambda_{4}^{}$$\vec{c}\,$= -$\lambda_{4}^{}$(1 -$\lambda_{1}^{}$) -$\lambda_{4}^{}$$\lambda_{1}^{}$e₂, поэтому$\mu$=$\lambda_{4}^{}$(1 -$\lambda_{1}^{}$) и$\lambda_{4}^{}$$\lambda_{1}^{}$= 1. Учитывая все эти соотношения, получаем$\mu$=${\frac{\lambda_3}{\lambda_1}}$=$\lambda_{3}^{}$(1 -$\lambda_{3}^{}$)$\le$${\frac{1}{4}}$.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления