Задача
На плоскости даны три точкиA,B,Cи три угла$\angle$D,$\angle$E,$\angle$F, меньшие180oи в сумме равные360o. Построить с помощью линейки и транспортира точкуOплоскости такую, что$\angle$AOB=$\angle$D,$\angle$BOC=$\angle$E,$\angle$COA=$\angle$F(с помощью транспортира можно измерять и откладывать углы).
Решение
Если требуемая точкаOсуществует, то она должны лежать внутри треугольникаABC. В таком случае должны выполняться неравенства$\angle$D<$\angle$C,$\angle$E<$\angle$A,$\angle$F<$\angle$B. Мы будем предполагать, что эти неравенства выполняются.
Построим внешним образом на сторонеABтреугольникаABCтреугольникABC1так, что$\angle$C1AB= 180o-$\angle$Eи$\angle$C1BA= 180o-$\angle$F. Аналогично построим точкиA1иB1так, что$\angle$A1BC= 180o-$\angle$F,$\angle$A1CB= 180o-$\angle$D,$\angle$B1CA= 180o-$\angle$Dи$\angle$B1AC= 180o-$\angle$E. Покажем, что отрезкиAA1,BB1,CC1пересекаются в одной точке, причём эта точка — искомая точкаO.
ПустьO1— точка пересечения описанных окружностей треугольниковAB1CиA1BC. Тогда$\angle$AO1C=$\angle$Fи$\angle$BO1C=$\angle$E. Из этого легко выводится, что описанная окружность треугольникаABC1тоже проходит через точкуO1и$\angle$AO1B=D. Значит,$\angle$AO1B1=$\angle$ACB1= 180o-$\angle$D=$\angle$BCA1=$\angle$BO1A1. Поэтому прямыеAA1иBB1пересекаются в точкеO1. Аналогично доказывается, что прямаяCC1проходит через точкуO1. Уже проведённые вычисления углов показывают, чтоO1— это искомая точкаO.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь