Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 7-9 класса

Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

Найти наименьшее натуральное число <i>A</i>, удовлетворяющее следующим условиям:

  а) его запись оканчивается цифрой 6;

  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Найти последние четыре цифры числа 5¹⁹⁶⁵.

Найти такое трёхзначное число <i>A</i>², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно  <i>A</i> – 1.

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.

Доказать, что каковы бы ни были числа <i>a, b, c</i>, по крайней мере одно из уравнений

    <i>a</i> sin <i>x + b</i> cos <i>x + c</i> = 0,   2<i>a</i> tg <i>x + b</i> ctg <i>x</i> + 2<i>c</i> = 0

имеет решение.

Найти решение уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109174/problem_109174_img_2.gif">   в целых числах.

Дан многочлен  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(<i>x</i> + 2)(<i>x</i> + 3).  Найти его наименьшее значение.

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

Доказать, что сумма<i> cos α+ cos</i>(72<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(144<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(216<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(288<i>^o+α</i>)не зависит от<i> α </i>.

Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Найти все решения системы уравнений <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">

</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.

Доказать, что <center><i>

A= sin²</i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin²</i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α

</i></center> не зависит от<i> β </i>.

Найти целые решения уравнения  <i>x</i>²<i>y</i> = 10000<i>x + y</i>.

Доказать, что для любого целого <i>n</i> число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif">   можно представить в виде разности   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif">   где <i>k</i> – целое.

Из условия<i> tgϕ=</i>1/<i> cosα cosβ+ tgα tgβ </i>вывести, что<i> cos </i>2<i>ϕ<img src="/storage/problem-media/109155/problem_109155_img_2.gif"> </i>0.

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109154/problem_109154_img_2.gif">

Решить в целых числах уравнение  9<i>x</i> + 2 = (<i>y</i> + 1)<i>y</i>.

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

Доказать, что     <img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_2.gif"> <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_3.gif"></div>

Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.