Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 2-7 класса

Доказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.

Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 1680.

Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?

Доказать неравенство  <i>abc</i>² + <i>bca</i>² + <i>cab</i>² ≤ <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴.

На продолжении наибольшей стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>отложен отрезок<i> |CD|=|BC| </i>. Доказать, что<i> <img src="/storage/problem-media/109039/problem_109039_img_2.gif"> ABD </i>тупой.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>₁ + 12<i>x</i>₂ = 15,

   <i>x</i>₁ – 12<i>x</i>₂ + 11<i>x</i>₃ = 2,

   <i>x</i>₁ – 11<i>x</i>₃ + 10<i>x</i>₄ = 2,

   <i>x</i>₁ – 10<i>x</i>₄ + 9<i>x</i>₅ = 2,

   <i>x</i>₁ – 9<i>x</i>₅ + 8<i>x</i>₆ = 2,

   <i>x</i>₁ – 8&...

Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более<i> 720^o </i>.

Найти два двузначных числа, обладающих свойствами: если к большему искомому числу приписать справа нуль и меньшее число, а к меньшему приписать большее число и затем нуль, то из образовавшихся чисел первое, будучи разделено на второе, даст в остатке 590, в частном 2. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего числа и утроенного меньшего, равна 72.

Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 секунд и затратил 25 секунд, чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

На плоскости задано<i> n </i>точек. Известно, что среди любых трёх из них имеются две, расстояние между которыми не больше 1. Доказать, что на плоскость можно наложить два круга радиуса 1, которые закроют все эти точки.

Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

Решить систему уравнений с <i>n</i> неизвестными   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108979/problem_108979_img_2.gif">

Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).

Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 кг/дм³, а серебра – 10,5 кг/дм³.

Найти равнобедренные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.

Расстояние между пунктами <i>A</i> и <i>B</i> равно 40 км. Пешеход вышел из <i>A</i> в 4 часа. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из <i>A</i> в 7:20. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из <i>B</i> в 8:30. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.

Доказать, что если окружность касается трёх сторон выпуклого четырёхугольника и не пересекает четвёртой, то сумма четвёртой и противоположной ей стороны меньше суммы остальных сторон четырёхугольника.

Моторная лодка в 9 часов отправилась вверх по течению реки, и в момент её отправления с лодки был брошен в реку мяч. В 9:15 лодка повернула и поплыла по течению. В котором часу лодка догонит мяч, если известно, что её собственная скорость оставалась неизменной?

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

Если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3. Доказать.

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4<i>K</i>,  где <i>K</i> – любое натуральное число, делится на 400.

Число 42<i>X</i>4<i>Y</i> делится на 72. Найти его цифры <i>X</i> и <i>Y</i>.

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.

Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?